Morfisme

No s'ha de confondre amb homeomorfisme.

En matemàtiques, un morfisme o homomorfisme és, en general, una aplicació entre dos conjunts dotats d'una mateixa estructura algebraica, que és respectada per l'aplicació.

Aquesta noció és un dels conceptes bàsics de la teoria de les categories, on se li dona una definició formal molt més àmplia. Així, un morfisme no és obligatòriament una funció, és simplement una relació entre dues classes que poden no ser conjunts.

Els morfismes es poden classificar en:

• un endomorfisme és un morfisme d'una estructura en si mateixa.
• un isomorfisme és un morfisme ${\displaystyle f\,}$ entre dos conjunts dotats de la mateixa mena d'estructura, tal que existeix un morfisme ${\displaystyle g\,}$ en el sentit invers, tal que ${\displaystyle f\circ g\,}$ i ${\displaystyle g\circ f\,}$ són la identitat de les estructures.
• un automorfisme és un isomorfisme d'una estructura en si mateixa.
• un epimorfisme és un morfisme ${\displaystyle f:A\to B\,}$ tal que per a tot parella de morfismes del tipus ${\displaystyle g,h:B\to C\,}$, si ${\displaystyle g\circ f=h\circ f\,}$, llavors ha de ser ${\displaystyle g=h\,}$.
• un monomorfisme és un morfisme ${\displaystyle f:A\to B\,}$ tal que per a tot parella de morfismes del tipus ${\displaystyle g,h:C\to A\,}$, si ${\displaystyle f\circ g=f\circ h\,}$, llavors ha de ser ${\displaystyle g=h\,}$.

Direm que una aplicació lineal ${\displaystyle f\,}$ és un epimorfisme si ${\displaystyle f\,}$ és exhaustiva; que és un monomorfisme si ${\displaystyle f\,}$ és injectiva; i que és un isomorfisme si ${\displaystyle f\,}$ és bijectiva. A més, si ${\displaystyle f\,}$ és un endomorfisme bijectiu, aleshores direm que ${\displaystyle f\,}$ és un automorfisme.

Exemple: la identitat d'un conjunt és sempre un morfisme, que respecta l'estructura considerada. I és un automorfisme.